NP-COMPLETENESS - Sekretny związek między tysiącami nierozwiązanych problemów matematycznych

Film wprowadza pojęcie NP-zupełności, wyjaśniając, że rozwiązanie tylko jednego z tysięcy nierozwiązanych problemów matematycznych z nim związanych może odblokować niewyobrażalne postępy w technologii, bezpieczeństwie i optymalizacji. Niektóre z tych problemów, określane jako NP-zupełne, mają praktyczne zastosowania, takie jak organizowanie przyjęć, znajdowanie optymalnych lokalizacji szpitali czy przewidywanie składania białek. Film pokazuje ograniczenia algorytmu brute force do rozwiązania problemu Clique, który jest słynnym problemem NP-complete. Następnie zagłębia się w przełomową pracę Stephena Cooka i Leonarda Levina, którzy ujawnili głęboki związek między słynnym problemem NP o nazwie SAT a obliczaniem, pokazując, że problem SAT może przeprowadzać obliczenia. Film omawia technikę redukcji, która jest używana przez informatyków w obliczu nowego trudnego problemu, i jak to może być dość techniczne. Pytanie, czy P równa się NP pozostaje największym otwartym pytaniem w informatyce, ponieważ oznaczałoby to ogromną zmianę światopoglądu, gdyby zostało udowodnione.
0000 W tej części film wprowadza pojęcie NP-zupełności i jak rozwiązanie tylko jednego z tysięcy nierozwiązanych problemów matematycznych z nim związanych może odblokować niewyobrażalny postęp w technologii, bezpieczeństwie i optymalizacji. Problemy te, określane jako NP-zupełne, są tak złożone, że obecnie nie istnieje żaden ogólny algorytm, który rozwiązywałby je w rozsądnym czasie dla dużych instancji, mimo że mają praktyczne zastosowania, takie jak organizowanie przyjęć, znajdowanie optymalnych lokalizacji szpitali i przewidywanie składania białek. Film pokazuje ograniczenia algorytmu brute force do rozwiązania problemu Clique, który jest słynnym problemem NP-complete, który ma na celu znalezienie zbioru węzłów w grafie, które tworzą całkowicie połączony podgraf o danym rozmiarze.
0000 W tej części film wyjaśnia, że problem Clique jest trudny, ponieważ przebiega wykładniczo, gdy dane wejściowe rosną. Informatycy nie znaleźli algorytmu, który skaluje się szybciej niż wykładniczo, co czyni go problemem nie do rozwiązania. Rozwiązaniem problemu Clique musiałby być sprytny i szybszy algorytm, który skaluje się wielomianowo, gdzie liczba wejściowa jest w podstawie, a stała jest w wykładniku, dzięki czemu algorytm rośnie znacznie wolniej, gdy rośnie wejście. Te problemy należą do klasy NP lub niedeterministycznego wielomianu, co oznacza, że mogą być rozwiązane przez niedeterministyczny algorytm wielomianowy, ale zweryfikowane w czasie wielomianowym. Problemy te są posortowane w klasy na podstawie typów algorytmów i zasobów, których używają.
0000 W tej sekcji film omawia rolę obliczeń niedeterministycznych jako teoretycznego narzędzia do lepszego zrozumienia problemów. Chociaż nie jest to praktyczny model obliczeń, obliczenie niedeterministyczne zapewnia ekspresyjny model, który pozwala badaczom scharakteryzować wszystkie problemy, które mają zgadywankę jako trudną część. Ta idea matematycznie ujmuje bycie trudnym do rozwiązania, ale łatwym do sprawdzenia. Następnie sekcja zagłębia się w przełomową pracę Stephena Cooka i Leonarda Levina, którzy ujawnili głęboki związek między słynnym problemem NP zwanym sat i obliczaniem, pokazując, że problem sat może wykonywać obliczenia, podobnie jak Kartezjusz zjednoczył algebrę i geometrię pokazując, że są one różnymi reprezentacjami tej samej rzeczy.
0000 W tej części prelegent wyjaśnia, jak działa algebra boolowska i jej zastosowanie w rozwiązywaniu problemów satysfakcji boolowskiej (SAT). SAT to rodzaj problemu, w którym trzeba znaleźć odpowiednią kombinację wartości true i false dla zmiennych w formule boolowskiej, tak aby cała formuła zwracała jedynkę. Prelegent demonstruje, jak wykorzystać algebrę boolowską do rozwiązania problemu SAT i znajduje odpowiednią kombinację działań dla strony, biorąc pod uwagę pewne ograniczenia. SAT jest typem problemu, który jest trudny do efektywnego rozwiązania i jest to problem NP, co oznacza, że nie mamy zagwarantowanego znacząco lepszego sposobu na jego rozwiązanie niż sprawdzanie każdej pojedynczej kombinacji true i false. Jednak po przedstawieniu rozwiązania łatwo jest sprawdzić, czy jest ono poprawne. Formuły SAT są niesamowicie ekspresyjne i mogą być używane do opisywania wszelkiego rodzaju ograniczeń i obiektów, co czyni je potężnym narzędziem w matematyce.
0000 W tej części film wyjaśnia, jak maszyna Turinga może matematycznie uchwycić koncepcję obliczeń, i przechodzi do omówienia twierdzenia Cooka i Levina, które pokazuje, że formuła SAT może reprezentować dowolną niedeterministyczną maszynę Turinga. Film przedstawia prosty zabawkowy przykład maszyny Turinga, która zawiera tylko jedną komórkę na taśmie i może zwrócić "tak" lub "nie" w zależności od tego, czy w komórce zapisana jest odpowiednio 1 lub 0. Zachowanie tej maszyny Turinga jest uchwycone przez formułę SAT, która zawiera zmienne reprezentujące stan maszyny i symbol na taśmie w każdym kroku czasowym. Film wyjaśnia jak zmienne we wzorze muszą być prawdziwe, by wzór był prawdziwy, oraz zauważa, że niektóre aspekty zachowania maszyny Turinga nie są uchwycone przez wzór.
0000 W tej części filmu narrator wyjaśnia, jak Cook i Levin opracowali formuły do reprezentowania ograniczeń maszyny Turinga w formule SAT. Ta formuła SAT może reprezentować dowolną maszynę Turinga, nawet niedeterministyczną. Rozwiązanie problemu SAT rozwiązałoby wszystkie inne problemy NP, czyniąc SAT pierwszym w historii problemem NP-complete. Richard Karp pokazał później, że kolejne 21 problemów, w tym problem Clique, były również NP-zupełne w ten sam sposób, co SAT. Od tego czasu zidentyfikowano tysiące NP-zupełnych problemów z różnych dziedzin, a NP-zupełność unifikuje wszystkie te problemy, pokazując, że podstawowa trudność w ich rozwiązaniu jest taka sama. Pytanie czy P równa się NP pozostaje największym otwartym pytaniem w informatyce, gdyż jego udowodnienie oznaczałoby ogromną zmianę światopoglądu.
0000 W tym odcinku film omawia technikę redukcji, którą stosują informatycy w obliczu nowego trudnego problemu. Próbują oni zredukować znany problem NP-zupełny do nowego problemu, aby określić, czy poświęcić czas na jego rozwiązanie. Redukcja jest jedną z najważniejszych technik w informatyce teoretycznej, ale może być dość techniczna.
#nauka #matematyka #np